Dijkstra算法

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法关注的问题

在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

算法思想

图 G , 图所有顶点的集合 V (vertex) ，所有边的集合 E (edge).
设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法步骤：

• a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
• b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
• c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
• d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

时间复杂度

在最短路径问题中，对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法的初始实现版本未使用最小优先队列实现，其时间复杂度为 O(V2)，基于 Fibonacci heap 的最小优先队列实现版本，其时间复杂度为 O(E + VlogV)。

伪代码实现

function Dijkstra(Graph, source):

    dist[source] ← 0          // Distance from source to source
    prev[source] ← undefined  // Previous node in optimal path initialization

    for each vertex v in Graph:  // Initialization
        if v ≠ source            // Where v has not yet been removed from Q (unvisited nodes)
            dist[v] ← infinity   // Unknown distance function from source to v
            prev[v] ← undefined  // Previous node in optimal path from source
        end if
        add v to Q               // All nodes initially in Q (unvisited nodes)
    end for

    while Q is not empty:
        u ← vertex in Q with min dist[u]  // Source node in first case
        remove u from Q

        for each neighbor v of u:         // where v has not yet been removed from Q.
            alt ← dist[u] + length(u, v)
            if alt < dist[v]:             // A shorter path to v has been found
                dist[v] ← alt
                prev[v] ← u
            end if
        end for
    end while

    return dist[], prev[]

end function

(完)